Approximation of some nonlocal operators in a sinc-basis

Abstract: The present work is dedicated to the numerical approximation of fractional differential operators and the respective partial differential equations in which they appear.

As a model problem, we start with approximation of the integral fractional Laplacian which we approximate in a basis spanned of dilated and shifted tensor products of sinc-functions. The motivation for this is the representation of the fractional Laplacian as a Fourier multiplier and the simple representation of the basis functions in the Fourier domain which is essentially the indicator function of a hypercube in R^d.

These to ingredients allow for the development of efficient numerical schemes to compute a discrete operator on the space spanned by the sinc-basis and to apply it via efficient discrete convolution. We solve the linear systems that arise when discretizing the respective PDEs using iterative methods. This is feasible as the discrete convolution can be applied efficiently using Fourier methods.

To show that the solutions that we obtain through this discretization indeed converge to the analytical solutions, we show that the sinc-collocation method can equivalently be formulated as a Galerkin method. Using this formulation, we use abstract error estimates to prove the rates of convergence that are the same as obtained using finite element discretizations with the same spacing.

We support the analysis with extensive numerical experiments in up to d = 3 spatial dimensions where we solve numerically the Dirichlet problem for the fractional Laplacian on different domains as well as multiple applications.

In the last chapter, we show that the computational methods developed here can be easily adapted to other operators as long as they have a suitable representation in Fourier space. As examples, we approximate a fractional version of the Eikonal equation where we replace the standard, local gradient in the Eikonal equation with a fractional gradient in the Riesz-sense and the Dirichlet problem for logarithmic Laplacian. Furthermore, we extend the methods developed for the fractional Laplacian to operators with similar, thus non-radialsymmetric symbols
Abstract: Die vorliegende Arbeit widmet sich der numerischen Approximation von fraktionalen Differentialoperatoren und den partiellen Differentialgleichungen in denen sie auftreten.

Als Modellproblem beginnen wir mit der Approximation des fraktionalen Laplace-Operators in der Integraldefintion in einer Basis aus skalierten und verschobenen Tensorprodukten von sinc-Funktionen. Die Motivation hierfür ist die Darstellung des fraktionalen Laplace-Operators als Fourier-Multiplikator und die einfache Darstellung der Basisfunktionen im Fourier-Raum, die im Wesentlichen die Indikatorfunktion eines Hyperwürfels in R^d ist.

Diese beiden Grundlagen ermöglichen die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren zur Berechnung eines diskreten Operators und dessen effizienter Anwendung als diskrete Faltung auf dem von der sinc-Basis aufgespannten Raum. Wir lösen die linearen Systeme, die bei der Diskretisierung der jeweiligen partiellen Differentialgleichungen auftreten, mit iterativen Methoden. Dies ist möglich, da die diskrete Faltung effizient mit Fourier-Methoden durchgeführt werden kann.

Um zu zeigen, dass die Lösungen, die wir erhalten, tatsächlich zu den analytischen Lösungen konvergieren, zeigen wir, dass die sinc-Kollokationsmethode äquivalent als Galerkin-Methode formuliert werden kann. Unter Verwendung dieser Formulierung verwenden wir abstrakte Fehlerschätzungen um die Konvergenzraten zu beweisen, die dieselben sind wie bei der Verwendung von Finite Elemente Diskretisierungen mit vergleichbarer Diskretisierungsfeinheit.

Wir untermauern die numerische Analysis mit umfangreichen numerischen Experimenten, in denen wir das Dirichlet-Problem für den fraktionalen Laplace-Operator auf verschiedenen Gebieten und in mehreren Anwendungen numerisch lösen.

Im letzten Kapitel zeigen wir, dass die hier entwickelten Berechnungsmethoden leicht für andere Operatoren angepasst werden können, solange diese eine geeignete Darstellung im Fourier-Raum haben. Als Beispiel lösen wir eine fraktionale Version der Eikonal-Gleichung, bei der wir den üblichen, lokalen Gradienten in der Eikonal-Gleichung durch einen fraktionalen Gradienten im Riesz-Sinn ersetzen, numerisch. Außerdem lösen wir das Dirichlet-Problem für den logarithmischen Laplace-Operator und erweitern die für den fraktionalen Laplace-Operator entwickelten Methoden auf Operatoren mit ähnlichen, aber nicht radialsymmetrischen Symbolen

Object Details

• Location: Deutsche Nationalbibliothek Frankfurt am Main
• Extent: Online-Ressource
• Language: Englisch
• Notes: Universität Freiburg, Dissertation, 2024

Classification and Topics

• Classification: Mathematik

Contributors, Places and Time

• Event: Veröffentlichung
• (where): Freiburg
• (who): Universität
• (when): 2024
• Creator: Striet, Ludwig
• Contributor: Dondl, Patrick W. ; Dondl, Patrick W. ; Du, Qiang ; Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Abteilung für Angewandte Mathematik ; Albert-Ludwigs-Universität Freiburg. Fakultät für Mathematik und Physik

Further information

• DOI: 10.6094/UNIFR/246834
• URN: urn:nbn:de:bsz:25-freidok-2468340
• Rights: Open Access; Der Zugriff auf das Objekt ist unbeschränkt möglich.
• Last update: 25.03.2025, 1:56 PM CET