Some topics on the nonlinear partial differential equations arising from geometry

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Abstract: Die vorliegende Dissertation besteht aus drei Teilen.

Im ersten Teil betrachten wir einen modifizierten mittleren Krümmungsfluss in der Einheitskugel mit kapillaren Randbedingungen. Dieser Fluss erhält das von der sich entwickelnden Fläche eingeschlossene Volumen und verringert ein Energiefunktional. Wir beweisen, dass der Fluss für alle Zeiten existiert und gegen ein Kugelsegment konvergiert. Als Anwendung lösen wir ein isomerimetrisches Problem.

Im zweiten Teil betrachten wir den unparametrisierten mittleren Krümmungsfluss, jeweils im Euklidischen und in einer allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeit. Genauer betrachten wir einen (Killing-) Graphen über einer strikt konvexen Menge $\Omega$ in $\mathbb{R}^n$ (bzw. $M$), welcher sich mit normaler Geschwindigkeit gleich der mittleren Krümmung und vorgeschriebenem Schnittwinkel mit dem Randzylinder bewegt. Wenn der Schnittwinkel fast ortohonal ist, zeigen wir, dass der Fluss gegen eine translatierende Lösung konvergiert. Daraufhin beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit einer glatten Lösung des Kapillarproblems im Euklidischen für strikt konvexe Mengen.

Im dritten Teil betrachten wir ein überbestimmtes Randwertproblem mit Bezug zur anisotropischer mittleren Krümmung einer beschränkten Teilmenge Omega eines konvexen Kegels. Wir beweisen die entsprechende Wulffform Karakterisierung, welche Serrins klassisches überbestimmtes Problem beinhaltet. Außerdem zeigen wir eine Karakterisierung von anisotropischer mittlerer Krümmung in einem konvexen Kegel. Zuletzt betrachten wir den inversen mittleren Krümmungsfluss einer Fäche in dem konvexen Kegel, welcher den Kegel in einem vorgeschrieben Winkel schneidet und beweisen Langzeitexistenz

Location
Deutsche Nationalbibliothek Frankfurt am Main
Extent
Online-Ressource
Notes
Universität Freiburg, Dissertation, 2020

Event
Veröffentlichung
(where)
Freiburg
(who)
Universität
(when)
2020
Creator
Contributor

DOI
10.6094/UNIFR/165566
URN
urn:nbn:de:bsz:25-freidok-1655660
Rights
Der Zugriff auf das Objekt ist unbeschränkt möglich.
Last update
14.08.2025, 10:49 AM CEST

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Time of origin

  • 2020

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